本试题是北京邮电大学高等数学A（上）的期中考试题目，所有解答均由笔者撰写，如需使用，请务必保留本站地址。本套试卷题目部分解释权归北京邮电大学理学院数学系所有。
题目
T1：
已知f(x)= \frac{1}{ \lg (3-x)}+\sqrt{49-x^2}，则f(x)的定义域为______.
T2：
设f(x)= \lim\limits_{t\to +\infty} \frac{1-xe^{tx}}{x+e^{tx}} ，则f(x)=______.
T3：
函数f(x)= \frac{1}{1-e^{\frac{x}{x-1}}}，则x=1是__________间断点.（第一类/第二类）
T4：
极限\lim\limits_{x\to 0} (\frac{1+x}{1-x})^{\cot x}=_________.
T5：
已知当x\to 0时，(1-ax^2)^{\frac{1}{3}} -1与\cos x -1是等价无穷小，则常数a=_______.
T6：
f(x)=e^{x^{100}}，则f^{(100)}(0)=_______.
T7：
\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} + 2 \cos x -3}{x^{4}}=________.
T8：
函数y=x^{2} - \ln x的严格单调增区间为_________.
T9：
y= \ln \sqrt{\frac{1-x}{1-x^{2}}} + 2^{\ln 2}，则y'=_______.
T10：
对f(x)=x，g(x)=x^2在区间[1,2]上满足柯西中值定理的点\xi为________.
T11：
f(x)=xe^4的4阶带拉格朗日型余项的麦克劳林公式为______________________.
T12：
设
\begin{cases}
x=1+t^2 \\ y = \cos t
\end{cases}则\frac{\mathrm{d}^{2} y }{\mathrm{d} x^{2}}=_________.
T13：
设e^{-y}= \cos (xy) -2x，则\mathrm{d} y | _{x=0} =________.
T14：
曲线y=x- \frac{1}{x^{2}}在点_________处的法线与直线y=x平行.
T15：
设f(x)为偶函数，且f'(0)存在，则f'(0)=________.
T16：
设f(x)在x=1处连续，且\lim\limits_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=2，则f'(1)=________.
T17：
\lim\limits_{n \to \infty}(\sqrt{3} \sqrt[4]{3} \sqrt[8]{3} \cdots \sqrt[2^{n}]{3})=_______.
T18：
已知y=x^{x^{2}}+2^{x^{x}}，则\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=________.
T19：
设y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且y' \neq 1，则\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=________.
T20：
设y=f(x)在x=1处可导，且当h \to 0，有f(1+\ln{(1+2h)})=2+4h+o(h)，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为__________________________.
以下为答案部分，答案知识产权归属于本人。
参考答案
T1：
\begin{cases}
\lg (3-x) \neq 0 \\ 3-x > 0 \\ 49-x^{2} \geq 0
\end{cases}
\rArr
\begin{cases}
x \neq 2 \\ x < 3 \\ -7 \leq x \leq 7
\end{cases}
\rArr x \in [7,2) \cup (2,3)T2：
分类讨论，代入极限定义得到：
f(x)=
\begin{cases}
1 & & x>0 \\
\frac{1}{x} & & x =0 \\
x & & x <0
\end{cases}T3：
显然，函数在x=1左右两侧均有定义且有左右极限，故x=1为第一类间断点。
T4：
\begin{aligned}
原式&= \lim\limits_{x\to0}(-\frac{x-1+2}{x-1})^{\cot x} \\
&= \lim\limits_{x\to0}(-1-\frac{2}{x-1})^{\cot x} \\
&= \lim\limits_{x\to0} (-1)^{\cot x}(1+\frac{2}{x-1})^{\cot x} \\
&= 1(1+\frac{2}{-1})^0 =(-1)^0 = 1
\end{aligned}
T5：
\begin{aligned}
& \because \cos x -1 \sim -\frac{1}{x^2}且(1-ax^2)^{\frac{1}{3}} -1\sim\cos x-1 (x\to0) \\
& \therefore (1-ax^2)^{\frac{1}{3}} -1\sim -\frac{1}{x^2}(x\to0) \\
& \because (1-ax^2)^{\frac{1}{3}} -1\sim \frac{1}{3}(-ax^2)=-\frac{1}{3}ax^2(x\to0) \\
& \therefore -\frac{1}{2}x^2 \sim - \frac{1}{3}ax^2(x\to0)\\
& \rArr a = \frac{3}{2}
\end{aligned}T6：
我们不妨先试着找规律，求出f'(0),f''(0)（所有公式中得x均等于0）:
\begin{aligned}
&f'(0)=e^{x^{100}}100x^{99}=0\\
&f''(0)=e^{x^{100}}100x^{99}100x^{99}+e^{x^{100}}99\times100x^{98}
\end{aligned}我们发现，二次导得第一项e^{x^{100}}100x^{99}100x^{99}=0，所以二次导又可以写成：
f''(0)=0+e^{x^{100}}99\times100x^{98}由上式推出三次导可以写成：
f'''(0)=0+e^{x^{100}}98\times99\times100x^{97}由此递推推出通项：
f^{(k)}(0)=0+e^{x^{100}}\prod_{i=101-k}^{100}x^{100-k}\\k=1,2,3,...,99故
f^{(99)}(0)=0+e^{x^{100}}2\times3\times...\times99\times100x=e \cdot \frac{100!}{1}x \\
\rArr f^{(100)}(0)=[f^{(99)}(0)]'=e \cdot 100! T7：
方法1：
4次洛必达法则即可，计算量较大且容易出错。
方法2：
2次洛必达+等价无穷小代换，注意，不能在本题一开始就进行等价无穷小代换。
\begin{aligned}
原式&=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x^2} 2x-2\sin x}{4x^3} \\
&=\lim\limits_{x\to0}\frac{xe^{x^2}-\sin x}{2x^3} \\
&=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x^2}+2x^2e^{x^2}-\cos x}{6x^2} \\
&=\lim\limits_{x\to0}(\frac{e^{x^2}}{3}+\frac{e^{x^2}-\cos x}{6x^2}) \\
&=\frac{1}{3}+\lim\limits_{x\to0}\frac{(e^{x^2}-1)+(1-\cos x)}{6x^2} \\
&=\frac{1}{3}+\lim\limits_{x\to0}\frac{(x^2)+(\frac{1}{2}x^2)}{6x^2} \\
&=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}
\end{aligned}T8：
定义域：(0,+\infty)，由y'=0得x=\frac{\sqrt{2}}{2}。
易得严格单增区间为(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)。
T9：
直接链式求导即可，过程十分机械，答案为：（答案有多种形式）
y'=\frac{x^2-2x-1}{2(1-x)(1+x^2)}T10：
T11：
T12：
两个式子分别对t求导有：
\begin{cases}
&\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t \\
&\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\sin t
\end{cases} 则可以推出：
\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\frac{\sin t}{2t})对于x=1+t^2，两边对x求导可以得到\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2t}，则有：
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\frac{\sin t}{2t}) \\
&=\frac{2\frac{1}{2t}\sin t - 2t\frac{1}{2t}\cos t}{4t^2} \\
&=\frac{\sin t-t\cos t}{4t^3}
\end{aligned}T13：
等式两边对x求导得：
\begin{aligned}
(-y)' \cdot e^{-y} &= -\sin(xy) \cdot (xy)' - 2 \\
y' \cdot e^{-y} &= y\sin(xy)+y' x\sin(xy)+2 \\
\end{aligned}
\\
得到导函数：
y'=\frac{y\sin(xy)+2}{e^{-y}-x\sin(xy)}根据微分与导数的关系，并将e^{-y}=\cos(xy)-2x回代，取x=0，得到：
\mathrm{d}y|_{x=0}=\frac{2}{e^{-y}}\mathrm{d}x=\frac{2}{\cos(xy)-2x}\mathrm{d}x=2\mathrm{d}xT14：
可以设出该点为(x,x-\frac{1}{x^2})。
若设法线斜率为k，则有k \cdot y' |_{x}=-1。将k=1代入解得x=-1，则该点为(-1,-2)。
T15：
显然，f'(0)=1。
T16：
方法1：
只是计算填空题的话，只需找到一个满足条件的f(x)即可。（不严谨）
很容易发现f(x)=2(x-1)符合题意，则f'(x)=2 \rArr f'(1)=2。