北邮高数A(上)期中试题1题目与解答

本试题是北京邮电大学高等数学A(上)的期中考试题目,所有解答均由笔者撰写,如需使用,请务必保留本站地址。本套试卷题目部分解释权归北京邮电大学理学院数学系所有。

题目

T1:

已知f(x)= \frac{1}{ \lg (3-x)}+\sqrt{49-x^2},则f(x)的定义域为______.

T2:

f(x)= \lim\limits_{t\to +\infty} \frac{1-xe^{tx}}{x+e^{tx}} ,则f(x)=______.

T3:

函数f(x)= \frac{1}{1-e^{\frac{x}{x-1}}},则x=1是__________间断点.(第一类/第二类)

T4:

极限\lim\limits_{x\to 0} (\frac{1+x}{1-x})^{\cot x}=_________.

T5:

已知当x\to 0时,(1-ax^2)^{\frac{1}{3}} -1\cos x -1是等价无穷小,则常数a=_______.

T6:

f(x)=e^{x^{100}},则f^{(100)}(0)=_______.

T7:

\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} + 2 \cos x -3}{x^{4}}=________.

T8:

函数y=x^{2} - \ln x的严格单调增区间为_________.

T9:

y= \ln \sqrt{\frac{1-x}{1-x^{2}}} + 2^{\ln 2},则y'=_______.

T10:

f(x)=xg(x)=x^2在区间[1,2]上满足柯西中值定理的点\xi为________.

T11:

f(x)=xe^4的4阶带拉格朗日型余项的麦克劳林公式为______________________.

T12:

 \begin{cases}
  x=1+t^2 \\ y = \cos t
\end{cases}

\frac{\mathrm{d}^{2} y }{\mathrm{d} x^{2}}=_________.

T13:

e^{-y}= \cos (xy) -2x,则\mathrm{d} y | _{x=0} =________.

T14:

曲线y=x- \frac{1}{x^{2}}在点_________处的法线与直线y=x平行.

T15:

f(x)为偶函数,且f'(0)存在,则f'(0)=________.

T16:

f(x)x=1处连续,且\lim\limits_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=2,则f'(1)=________.

T17:

\lim\limits_{n \to \infty}(\sqrt{3} \sqrt[4]{3} \sqrt[8]{3} \cdots \sqrt[2^{n}]{3})=_______.

T18:

已知y=x^{x^{2}}+2^{x^{x}},则\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=________.

T19:

y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且y' \neq 1,则\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=________.

T20:

y=f(x)x=1处可导,且当h \to 0,有f(1+\ln{(1+2h)})=2+4h+o(h),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为__________________________.


以下为答案部分,答案知识产权归属于本人。

参考答案

T1:

 \begin{cases}
\lg (3-x) \neq 0 \\ 3-x > 0 \\ 49-x^{2} \geq 0
\end{cases}
\rArr

 \begin{cases}
x \neq 2 \\ x < 3 \\ -7 \leq x \leq 7
\end{cases}
 \rArr x \in [7,2) \cup (2,3)

T2:

分类讨论,代入极限定义得到:

f(x)=
\begin{cases}
1 & & x>0 \\
\frac{1}{x} & & x =0 \\
x & & x <0
\end{cases}

T3:

显然,函数在x=1左右两侧均有定义且有左右极限,故x=1为第一类间断点。

T4:

\begin{aligned}
原式&= \lim\limits_{x\to0}(-\frac{x-1+2}{x-1})^{\cot x} \\ 
&= \lim\limits_{x\to0}(-1-\frac{2}{x-1})^{\cot x} \\
&= \lim\limits_{x\to0} (-1)^{\cot x}(1+\frac{2}{x-1})^{\cot x} \\
&= 1(1+\frac{2}{-1})^0 =(-1)^0 = 1
\end{aligned}

T5:

\begin{aligned}
& \because \cos x -1 \sim -\frac{1}{x^2}且(1-ax^2)^{\frac{1}{3}} -1\sim\cos x-1 (x\to0) \\
& \therefore  (1-ax^2)^{\frac{1}{3}} -1\sim -\frac{1}{x^2}(x\to0) \\
& \because (1-ax^2)^{\frac{1}{3}} -1\sim \frac{1}{3}(-ax^2)=-\frac{1}{3}ax^2(x\to0) \\
& \therefore -\frac{1}{2}x^2 \sim - \frac{1}{3}ax^2(x\to0)\\
& \rArr a = \frac{3}{2}
\end{aligned}

T6:

我们不妨先试着找规律,求出f'(0),f''(0)(所有公式中得x均等于0):

\begin{aligned}
&f'(0)=e^{x^{100}}100x^{99}=0\\
&f''(0)=e^{x^{100}}100x^{99}100x^{99}+e^{x^{100}}99\times100x^{98}
\end{aligned}

我们发现,二次导得第一项e^{x^{100}}100x^{99}100x^{99}=0,所以二次导又可以写成:

f''(0)=0+e^{x^{100}}99\times100x^{98}

由上式推出三次导可以写成:

f'''(0)=0+e^{x^{100}}98\times99\times100x^{97}

由此递推推出通项:

f^{(k)}(0)=0+e^{x^{100}}\prod_{i=101-k}^{100}x^{100-k}\\k=1,2,3,...,99

f^{(99)}(0)=0+e^{x^{100}}2\times3\times...\times99\times100x=e \cdot \frac{100!}{1}x \\
\rArr f^{(100)}(0)=[f^{(99)}(0)]'=e \cdot 100! 

T7:

方法1:

4次洛必达法则即可,计算量较大且容易出错。

方法2:

2次洛必达+等价无穷小代换,注意,不能在本题一开始就进行等价无穷小代换。

\begin{aligned}
原式&=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x^2} 2x-2\sin x}{4x^3} \\
&=\lim\limits_{x\to0}\frac{xe^{x^2}-\sin x}{2x^3} \\
&=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x^2}+2x^2e^{x^2}-\cos x}{6x^2} \\
&=\lim\limits_{x\to0}(\frac{e^{x^2}}{3}+\frac{e^{x^2}-\cos x}{6x^2}) \\
&=\frac{1}{3}+\lim\limits_{x\to0}\frac{(e^{x^2}-1)+(1-\cos x)}{6x^2} \\
&=\frac{1}{3}+\lim\limits_{x\to0}\frac{(x^2)+(\frac{1}{2}x^2)}{6x^2} \\
&=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}
\end{aligned}

T8:

定义域:(0,+\infty),由y'=0x=\frac{\sqrt{2}}{2}

易得严格单增区间为(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)

T9:

直接链式求导即可,过程十分机械,答案为:(答案有多种形式)

y'=\frac{x^2-2x-1}{2(1-x)(1+x^2)}

T10:

T11:

T12:

两个式子分别对t求导有:

\begin{cases}
&\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t \\ 
&\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\sin t
\end{cases} 

则可以推出:

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\frac{\sin t}{2t})

对于x=1+t^2,两边对x求导可以得到\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2t},则有:

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\frac{\sin t}{2t}) \\
&=\frac{2\frac{1}{2t}\sin t - 2t\frac{1}{2t}\cos t}{4t^2} \\
&=\frac{\sin t-t\cos t}{4t^3}
\end{aligned}

T13:

等式两边对x求导得:

\begin{aligned}
(-y)' \cdot e^{-y} &= -\sin(xy) \cdot (xy)' - 2 \\
y' \cdot e^{-y} &= y\sin(xy)+y' x\sin(xy)+2 \\
\end{aligned}
\\

得到导函数:

y'=\frac{y\sin(xy)+2}{e^{-y}-x\sin(xy)}

根据微分与导数的关系,并将e^{-y}=\cos(xy)-2x回代,取x=0,得到:

\mathrm{d}y|_{x=0}=\frac{2}{e^{-y}}\mathrm{d}x=\frac{2}{\cos(xy)-2x}\mathrm{d}x=2\mathrm{d}x

T14:

可以设出该点为(x,x-\frac{1}{x^2})

若设法线斜率为k,则有k \cdot y' |_{x}=-1。将k=1代入解得x=-1,则该点为(-1,-2)

T15:

显然,f'(0)=1

T16:

方法1:

只是计算填空题的话,只需找到一个满足条件的f(x)即可。(不严谨)

很容易发现f(x)=2(x-1)符合题意,则f'(x)=2 \rArr f'(1)=2

T17:

T18:

T19:

T20:

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