题目
设n为奇数，求：
\lim\limits_{x\to0} \frac{\cos(n \cdot \arccos x)}{x}来源
原题出处已不可考，我得到这道题是ayd在pku的数分习题课上弄来的。发现乍一眼看上去不太会做，北大的数学难度还是比我们这种工科学校高不少的，尤其对于初学者而言。处理的时候，将反三角函数整体换元为某个角度据说是比较典型的数学竞赛的做法。
答案
令\vartheta = \arccos x，则有：
原式=\lim\limits_{\vartheta\to\frac{\pi}{2}} \frac{\cos n\vartheta}{\cos\vartheta}再令\varphi = \vartheta-\frac{\pi}{2}，则有：
\begin{aligned}
原式&=\lim\limits_{\varphi\to0}\frac{\cos [n(\varphi+\frac{\pi}{2})]}{\cos(\varphi+\frac{\pi}{2})} & \\
&= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{\cos (n\varphi+n \cdot\frac{\pi}{2})}{\cos(\varphi+\frac{\pi}{2})} &
\end{aligned}此时根据诱导公式，n为奇数，我们需要分类讨论：
\begin{aligned}
原式&=
\begin{cases}
\lim\limits_{\varphi\to0}\frac{-\sin(n\varphi)}{-sin\varphi} & & (n \equiv 1) \mod 4\\
\lim\limits_{\varphi\to0}\frac{+\sin(n\varphi)}{-sin\varphi} & & (n \equiv 3) \mod 4\\
\end{cases}
\\
&=
\begin{cases}
n & & (n \equiv 1) \mod 4\\
-n & & (n \equiv 3) \mod 4\\
\end{cases}
\end{aligned}那么最后整理就是如何在(n \equiv 1) \mod 4时取正号，在(n \equiv 3) \mod 4时取负号。得到：
原式=(-1)^\frac{n-1}{2} \cdot n