为什么引入矩阵的相似、对角化、特征向量、特征值的“朴素原因”

作者

前言

线性代数虽然简单，但是只知道算数是没有意义的。掌握探索分析的能力才是学习数学的有用之处。

有的人上来抛出特征值特征向量的内容，然后开始“讲解知识”。殊不知自己让初学的学生学的晕头转向。有的老师觉得部分教材给出的引入晦涩难懂，但解决办法居然是干脆不引入了，或是随便一讲。代数学这么重要的课程讲成这个样子，真是让人呜呼哀哉。

不少书试图从比较本质的线性映射的角度讲解矩阵的相似，但由于线性代数不像高等代数课时那么多，往往会因为可是不够略去或略讲这部分知识，使得很多学生对为什么要讲相似、对角化、特征向量、特征值一无所知。

那与其将一些晦涩难懂的东西，我们不妨讲引入相似与矩阵对角化的一个“朴素目的”，日后再返回来讨论更本质的目的。

观察与思考

初学线性代数，大家都有一种很困难的感觉——矩阵乘法太麻烦了。而乘法都很麻烦，乘方可就更麻烦了。如果我们套用乘法公式去计算乘方，那可真是让人头疼。那有没有好算乘方的矩阵呢？有！那就是对角矩阵。比如：

\mathbf{D}=
\left[
\begin{matrix}
\lambda_1  & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{matrix}
\right]
=\mathbf{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots,\lambda_n\}

它的乘方就是对角矩阵对角线上元素各自乘方即可：

\mathbf{D}^m=
\left[
\begin{matrix}
{\lambda_1}^m  & 0 & \cdots & 0 \\
0 & {\lambda_2}^m & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & {\lambda_n}^m
\end{matrix}
\right]
=\mathbf{diag}\{{\lambda_1}^m, {\lambda_2}^m, \cdots,{\lambda_n}^m\}

那我们想一想，怎么能将某个普通的方阵\mathbf{A}转化为一个与之对应的对角矩阵\mathbf{D}=\mathbf{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots,\lambda_n\}，从而更快地计算这个方阵的乘方呢？

这个时候我们会想要构建一种\mathbf{A}^m与\mathbf{D}^m之间的关系。我们很自然地想到，如果我们找到对角矩阵\mathbf{D}使得它与矩阵\mathbf{A}相似，那么就很自然地有了下面\mathbf{A}^m与\mathbf{D}^m的关系：

不难发现，如果存在一个可逆矩阵\mathbf{U}，使得：

\mathbf{U}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{U}=\mathbf{D}=\mathbf{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots,\lambda_n\}

那么很容易发现：

\begin{aligned}
\mathbf{D}^m={(\mathbf{U}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{U})}^m&= (\mathbf{U}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{U})(\mathbf{U}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{U})\cdots(\mathbf{U}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{U}) \\
&=\mathbf{U}^{-1}\mathbf{A}(\mathbf{U}\mathbf{U}^{-1})\mathbf{A}(\mathbf{U}\cdots \mathbf{U}^{-1}\mathbf{A})\mathbf{U} \\
&=\mathbf{U}^{-1}\mathbf{A}^{m}\mathbf{U}
\end{aligned}

这样求出\mathbf{D}^m=\mathbf{diag}\{{\lambda_1}^m, {\lambda_2}^m, \cdots,{\lambda_n}^m\}之后，\mathbf{A}^m=\mathbf{U}\mathbf{D}^{m}\mathbf{U}^{-1}就是好求的了。

因此，我们可以把加速计算当作介绍矩阵相似、矩阵对角化的一个比较“朴素的目的”。

进一步推导

根据上面的式子，我们推导一下，看一看可逆矩阵\mathbf{U}到底是什么。

\begin{aligned}
\mathbf{U}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{U}&=\mathbf{D} \\
\mathbf{A}\mathbf{U}&=\mathbf{U}\mathbf{D}
\end{aligned}

我们把\mathbf{U}作为列向量组展开为\mathbf{U}=\{ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n \}。

由\mathbf{D}=\mathbf{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots,\lambda_n\}，则可以继续推导，有：

\begin{aligned}
\mathbf{U}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{U}&=\mathbf{D} \\
\mathbf{A}\mathbf{U}&=\mathbf{U}\mathbf{D} \\
\mathbf{A}\{ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n  \}
&=
\{ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n  \}\mathbf{D}\\
 \{ \mathbf{A}\boldsymbol{\alpha}_1, \mathbf{A}\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \mathbf{A}\boldsymbol{\alpha}_n  \}
&=
\{ \lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1, \lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \lambda_n\boldsymbol{\alpha}_n  \} \\

\end{aligned}

这也就是说，我们需要找到n个线性无关的向量组，使得：

\mathbf{A}\boldsymbol{\alpha}_1=\lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1 \\
\mathbf{A}\boldsymbol{\alpha}_2=\lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2 \\
\vdots \\
\mathbf{A}\boldsymbol{\alpha}_n=\lambda_n\boldsymbol{\alpha}_n \\

对于任意一个组\mathbf{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}。我们称\lambda是\mathbf{A}的一个特征值，称\boldsymbol{\alpha}是属于特征值\lambda的一个特征向量。

这样，我们就从加速运算的角度，看到了引入矩阵的相似、矩阵对角化、特征值与特征向量的“朴素意义”。

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